Вибір літери "і" або "е" в написанні цих приставок зробимо відповідно до орфографічного правила. У негативних займенниках під наголосом пишеться не-, а без наголосу – ні-. Поспостерігаємо: нічого запропонувати — нічого не брати

У якому разі нічого не пишеться окремо?

Обидва слова вживають при позначенні відсутності чогось. Здрастуйте. Якщо в негативному займеннику приставка «ні», тоді слово «нічого» пишеться разом», а з приставкою «не» у дуже поодиноких випадках пишеться окремо.

Як правильно нічого написати не хочу?

Правильно пишеться так: "А я вже нічого не хочу: ні плакати і ні сміятися". Частка, що повторюється, не відповідає союзу, що повторюється, і ствердної пропозиції, наприклад: "А я хочу і плакати, і сміятися".